1)社員さんが休みの日に車にぶつけられて骨折し会社を休んでいる。
2)相手の車の保険から休業損害を受けられる見込みで手続中である。
3)療養のため労務不能なので健康保険から傷病手当金を受けたい。
さて、どうでしょうか?

協会けんぽのウェブサイトに次のような説明があります。
【傷病手当金が支給停止(支給調整)される場合】
・傷病手当金と出産手当金が受けられるとき
・資格喪失後に老齢(退職)年金が受けられるとき
・障害厚生年金または障害手当金が受けられるとき
・労災保険の休業補償給付が受けられるとき

上記には、車の保険から休業損害を受けられるとき、というのはないですね。ということは、傷病手当金の請求ができるのかなぁ、と期待してしまいますね。ところが別のページに次のような説明がありました。

【第三者行為による傷病届等について】
・交通事故や喧嘩など、第三者の行為による負傷で、健康保険で治療を受けたときには「第三者行為による傷病届」のご提出をお願いします。

【(第三者行為による傷病届の)届出が必要となる理由】
・自動車事故等の第三者行為によりケガをしたときの治療費は、本来、加害者が負担するのが原則です。しかし、業務上や通勤災害によるものでなければ、健康保険を使って治療を受けることができますが、この場合、加害者が支払うべき治療費を健康保険が立て替えて支払うこととなります。

健康保険法第57条を読んでみると、第1項は「求償」のことを言ってますね。【届出が必要となる理由】のところで「立て替えて支払う」と言ってるように、健康保険が先に立て替えて支払ったときは、その分を加害者か・車の保険に立て替えた分の支払いを求めるんですね(求償)。そして第2項では「相手から同じ理由で損害を賠償してもらっているときは保険給付はしませんよ」と述べています。ですから、相手の車の保険から休業損害を受けると、健康保険の傷病手当金は支給されません。

両方からもらってもいいじゃないか、という気もしますが、考え方としては両制度が共にケガをした人の損害てん補を目的としている制度である以上、ケガをした人に生じた損害が全部てん補されていればよく、同一の損害について重複しててん補されたのでは、ケガをした人がかえって利益を得ることになりよろしくない、とされています(二重利得の禁止)。

また、ケガをした人に健康保険が給付した場合に、加害者に求償しなかったとすれば、加害者の損害賠償の義務を免責することになります。これは不法行為の防止に逆行しますから、免責しないことが社会正義に適うもの、と考えられます。

さらには、保険給付した場合に求償せず、保険給付額を加害者に負担させなければ、そのことは健康保険の被保険者の方々が出してあげたことになり、保険制度の趣旨から公平性に欠けることになります。

最初の疑問に戻れば、どちらか片方からもらったら、同じ理由のことにはもう片方からはもらえない、ということですね。